Спецкурс «Геометрические парадоксы»

Спецкурс ведет Гаянэ Юрьевна Панина.

Метрические пространства. Р-адические числа

  1. Метрические пространства: аксиоматическое задание, простые примеры. Понятие шара. Парадокс №1: шар маленького радиуса содержит большой. Парадокс №2: шар может быть невыпуклым, несимметричным, неодносвязным.
  2. Р-адическая метрика на целых числах. Неархимедовость метрики. Парадокс №3: все треугольники-равнобедренные. Парадокс №4: в шаре каждая точка является радиусом. Парадокс №5: два шара либо не пересекаются, либо один из них содержит другой. Парадокс №6: «маленькими шажками далеко не уйдешь».
  3. Понятие предела в метрическом пространстве. Пределы последовательностей Р-адических чисел. Парадокс №7: предел последовательности положительных чисел — отрицателен. Парадокс №8: предел последовательности целых чисел — дробь.
  4. Р-адические числа и операции над ними.
  5. Парадокс №9 о суммировании числовых рядов: «от перемены мест слагаемых сумма меняется».
  6. Р-адические числа как ряды. Парадокс №10: извлечение корня из -1.

Понятие размерности

  1. Фрактальная размерность. Размерность по Урысону.
  2. Канторово множество. Его мера. Его размерности. Парадокс №11: несовпадение размерностей.
  3. Ковер Серпинского, Кривая Коха; их размерности.

О построении циркулем и линейкой. Классические задачи древности

  1. Понятие числового поля. Расширения полей. Квадратичные расширения.
  2. Операции в алгебраических расширениях Q.
  3. Невозможность квадратуры круга и трисекции угла.
  4. Парадокс №12: деление угла на три части с помощью «скользящей» линейки.

Зачет выставляется по результатам сдачи двух промежуточных зачетов.