Спецкурс «Элементы теории чисел»

Спецкурс ведет Татьяна Анатольевна Логунова.

  1. Вводная лекция: «Все сущее есть число» (О старейшей из областей математики — теории чисел).
  2. Проблемы теории чисел: решенные и нерешенные. К.Гольдбах.
  3. Криптография. Система шифрования RSA.
  4. Главные действующие лица. Греки и целые числа. Пифагор.
  5. Евклид. Фундаментальные алгоритмы. Алгоритм деления. Теорема деления. Алгоритм Евклида. Корректность алгоритма Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
  6. Эволюция теории чисел. Диафант.
  7. Пьер де Ферма. Великая теорема Ферма. Эндрю Уайлс.
  8. Карл Гаусс. Теорема о разложении на множители. Доказательство существования. Алгоритм деления методом проб и его эффективность. Алгоритм Ферма разложения на множители и его корректность.
  9. Одно фундаментальное свойство простых чисел и его применение. Греки и иррациональность.
  10. Карл Гаусс. Теорема о разложении на множители. Доказательство единственности.
  11. Простые числа. Полиномиальная формула? Экспоненциальные формулы? Числа Мерсенна. Числа Ферма. Праймориальная формула? Доказательство бесконечности множества простых чисел Евклида.
  12. Л.Эйлер. Доказательство бесконечности множества простых чисел. Б.Рассел. Распределение простых чисел.
  13. Решето Эратосфена.
  14. Арифметика остатков. Отношение эквивалентности. Сравнения по модулю. Критерии делимости. Степени. Диафантовы уравнения.
  15. Деление по модулю n.
  16. Математическая индукция и Ферма. Малая теорема Ферма. Доказательство и приложения.
  17. Составное или простое? Псевдопростые числа. Тест на разложимость. Числа Кармайкла. Теорема Корселта с доказательством. Тест Миллера. Теорема Рабина.
  18. Китайский алгоритм остатков. Взаимно-простые модули и общий случай. Примеры.
  19. Группы. Определения и примеры. Симметрии. Н.Тарталья и Дж.Кардано. Э.Галуа.
  20. Арифметические группы. Функция Эйлера. Подгруппы. Циклические подгруппы. Теорема Лагранжа с доказательством.
  21. И вновь числа Мерсенна. Метод Ферма с доказательством. Приложение его к поиску делителей чисел Мерсенна.
  22. Числа Ферма и метод Эйлера с доказательством. Приложение его к поиску делителей чисел Ферма.
  23. Тест Люка-Леммера проверки чисел на простоту.
  24. Тест Люка проверки чисел на простоту. Тест Ж.Ф.Пепена чисел Ферма на простоту. Усовершенствованный Тест Люка.
  25. Примитивные корни. Теорема о примитивных корнях. Вычисление порядков.
  26. Система шифрования RSA. Шифровка и дешифровка. Надежность. Выбор простых. Проблема подписи.
  27. Возможно об эллиптических кривых.