Решения зачетных задач надо присылать по адресу geometry2012a@gmail.com в электронном виде (формат DOC).
Задача 1
В квадрате ABCD со стороной a отметили середины сторон:
-
A' — середина стороны AB,
B' — середина стороны BC,
C' — середина стороны CD,
D' — середина стороны DA.
Задача 2
В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с вершиной прямого угла С провели медиану AD. Перпендикуляр из вершины С на прямую AD пересекает гипотенузу в точке E. В каком отношении делит гипотенузу точка E?
Найдите не менее пяти различных решений этой задачи.
Одно из них — наиболее понравившееся вам — пришлите в электронном виде.
Задача 3
В треугольнике ABC провели медиану AD. E — середина AD. В каком отношении делит сторону AB прямая CE?
Задача 4
В квадрате ABCD точки E и F — середины сторон BC и CD соответственно.
Отрезки AE и BF пересекаются в точке G.
Что больше — площадь треугольника AGF или площадь четырехугольника GECF?
Задача 5
В условиях предыдущей задачи E и F не середины сторон, а произвольные
точки на сторонах BC и CD соответсвенно, находящиеся на равном расстоянии
от вершины С.
Может ли площадь треугольника AGF быть равна площади четырехугольника GECF?
Задача 6
В окружность с радиусом R вписан четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Докажите, что сумма квадратов длин четырех отрезков, на которых диагонали делятся в точке пересечения, является константой (то есть не зависит от выбора четырехугольника).
Задача 7
В условиях предыдущей задачи угол между диагоналями равен не π/2, а
α. Верно ли, что рассматриваемая сумма квадратов является константой?
Можете рассмотреть случай α=π/3.
Задача 8
Треугольник ABC равносторонний. Точки C и D находятся по разные стороны от прямой AB. Угол ADB равен 120 градусам.
Известно, что AD=a, BD=b. Найдите CD.