Лемма 1. Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Доказать, что угол COB на 90° больше, чем половина угла A.

Лемма 2 (обратная к лемме 1). Внутри треугольника ABC взята точка O так, что угол COB на 90° больше, чем угол CAO, а угол COA на 90° больше, чем угол CBO. Доказать, что AO, BO и CO — биссектрисы треугольника ABC.

Лемма 3. На сторонах OA₁ и OB₁ равностороннего треугольника A₁OB₁ построили внешним образом треугольники A₁OA и B₁OB так, что угол B₁OB на 60° больше, чем угол A₁AO, а угол A₁OA на 60° больше, чем угол B₁BO. Прямые AA₁ и BB₁ пересекаются в точке C. Доказать, что AO, BO и CO — биссектрисы треугольника ABC.

Лемма 4. На сторонах равностороннего треугольника A₁B₁C₁ построили внешним образом треугольники A₂B₁C₁, A₁B₂C₁ и A₁B₁C₂ так, что:
∠B₁A₂C₁ = α; ∠A₂B₁C₁ = γ+60°; ∠A₂C₁B₁ = β+60°;
∠A₁B₂C₁ = β; ∠B₂A₁C₁ = γ+60°; ∠B₂C₁A₁ = α+60°;
∠A₁C₂B₁ = γ; ∠C₂B₁A₁ = α+60°; ∠C₂A₁B₁ = β+60°;
Доказать, что A₂B₁, A₂C₁, B₂A₁, B₂C₁, C₂A₁ и C₂B₁ — трисектрисы треугольника ABC.