Важно: установите на домашний компьютер программу TI-Nspire CAS Student Software for Windows.
Модуль 1. «Равносторонний треугольник»
Задача: Построение равностороннего треугольника
Способ 1
-
Проведение отрезка (Points & Lines > Segment)
Построение окружностей с центром в данной точке и данным радиусом (Shapes > Circle)
Нахождение точек пересечения окружностей (Points & Lines > Intersection point)
Проведение отрезков между заданными точками (Points & Lines > Segment)
(опционально) Скрытие объектов, в данном случае окружностей (Контекстное меню > Hide)
Нахождение величины угла построенного треугольника (Measurement > Angle)
Способ 2
-
Построение прямой (Points & Lines > Line)
Выделение двух точек на прямой (Points & Lines > Point)
Поворот прямой вокруг первой точки против часовой стрелки на угол 60 градусов (Transformation > Rotation)
Поворот прямой вокруг второй точки по часовой стрелке на угол 60 градусов
Нахождение точки пересечения двух прямых.
Проверка равенства сторон полученного треугольника. (Measurement > Length)
Способ 3
-
Проведение луча (Points & Lines > Ray)
Поворот луча вокруг начала на угол 60 градусов
Выделение точки на полученном луче
Проведение перпендикуляра из полученной точки на начальный луч (Construction > Perpendicular)
Отражение начала луча относительно проведенного перпендикуляра (Transformation > Reflection)
Проведение отрезка
Проверка равенства сторон полученного треугольника
Домашнее задание
Найти самостоятельно иной способ построение равностороннего треугольника, описать процедуру его получения, процедуру проверки, привести его доказательство.
Способ 4
-
Провести окружность.
Провести из центра окружности отрезок к точке на окружности.
Повернуть его относительно центра окружности на 120 градусов по и
против часовой стрелки.
Соединить полученные точки.
Способ 5
-
Построить любым способом равносторонний треугольник.
Отметить середины сторон (Construction > Midpoint).
Соединить их отрезками.
Способ 6
-
Построить любым способом равносторонний треугольник.
Через вершины провести прямые, параллельные противолежащим сторонам
(Construction > Parrallel).
Отметить точки пересечения.
Способ 7
Построить равносторонний треугольник, описанный вокруг окружности.
Задача: Центр равностороннего треугольника
Задача 8
-
Убедиться, что биссектрисы равностороннего треугольника пересекаются в одной точке;
Убедиться, что центр равностороннего треугольника равноудален от его а) вершин, б) сторон;
Убедиться, что центр равностороннего треугольника является центром поворотной симметрии на 120 градусов.
Задача: Восстановление равностороннего треугольника
Задача 9
Восстановить треугольник по центру и вершине.
Задача 10
Восстановить треугольник по центру и середине стороны.
Задача 11
Восстановить треугольник по центру и двум произвольным точкам на стороне.
Задача 12
Восстановить треугольник по центру и двум произвольным точкам на разных сторонах.
Задача 13
-
Убедиться, что у равностороннего треугольника три оси симметрии.
Убедиться, что они пересекаются в одной точке, и что это точка является центром поворотной симметрии.
Убедиться, что каждая ось симметрии делится точкой пересечения в отношении 2:1.
Задача 14
-
Восстановить треугольник
а) по его оси симметрии (прямой, а не отрезку) и центру.
б) по его оси симметрии (прямой, а не отрезку) и середине стороны (точке, не лежащей на этой прямой).
в) по двум его осям симметрии (прямым, а не отрезкам).
Задача 15
В равностороннем треугольнике ABC на сторонах BC, CA и AB отметили точки A', B' и C' соответственно, так что
BA' = CB' = AC' = AB/3.
а) Убедиться, что треугольник A'B'C' равносторонний.
б) Весь рисунок кроме точек A', B' и C' — стерли. Восстановить треугольник ABC.
Задача 16
Решить предыдущую задачу, если известно, что отрезки BA', CB' и AC' равны, но их длина не дана. (Для этого ввести дополнительный параметр, которого достаточно для решения задачи.)
Задача 17
В квадрате ABCD со стороной a отметили середины сторон:
-
A' — середина стороны AB,
B' — середина стороны BC,
C' — середина стороны CD,
D' — середина стороны DA.
Задача 18
В условиях предыдущей задачи восстановите исходный квадрат по вершинам "маленького" квадрата.
Задача 19
Построить квадрат, вписанный в равносторонний треугольник. Имеет ли он наибольшую площадь среди всех прямоугольников, вписанных в треугольник таким образом?
Задача 20
В предыдущей задаче восстановить всю конфигурацию по стороне квадрата, лежащей на стороне треугольника.
Задача 21
Убедитесь, что в квадрат можно вписать равносторонний треугольник так, чтобы одна из вершин квадрата совпадала с вершиной треугольника. Построить такой треугольник. (Убедиться, что полученный треугольник действительно равносторонний).
Задача 22
В предыдущей задаче восстановить квадрат по вершинам равностороннего треугольника.
Задача 23
Можно ли вписать равносторонний треугольник в квадрат так, чтобы вершина равностороннего треугольника не совпадала, а была рядом с вершиной квадрата.
Задача 24
В квадрат ABCD вписаны два равносторонних треугольника, так что
точки A и C являются вершинами первого и второго треугольника соответственно.
1) Найти на получившемся рисунке равные а) углы и б) треугольники.
2) Найти а) параллельные и б) перпендикулярные прямые.
3) Найти а) равносторонние треугольники, б) прямоугольники, в) равнобокие трапеции. г) Исследовать тип/свойства шестиугольника, являющегося пересечением треугольников.
4) Найти площадь пересечения и объединения треугольников, если сторона квадрата равна 1.
Задача 25
У Малыша и Карлсона есть квадратный торт. Малыш выбирает произвольную точку внутри квадрата,
после чего Карлсон проводит через нее произвольную прямую, и из двух получившихся кусков торта
выбирает больший по площади.
1) Для произвольной точки, выбранной Малышом, найдите наилучший выбор прямой для Карлсона.
2) Найдите такую точку для Малыша, при выборе которой результат Карлсона будет минимальным из возможных.
Задача 26 (*)
Решить ту же задачу (оба пункта) для правильного шестиугольника.
Задача 27
Решить ту же задачу (оба пункта) для равностороннего треугольника.
Задача 28 (*)
Решить ту же задачу (оба пункта) для правильного пятиугольника.
Задача 29
В правильном восьмиугольнике ABCDEFGH проведены диагонали AD, BE, CF, ..., HC. Рассмотрим вершины восьмиугольника и точки пересечения проведенных диагоналей. Какие конфигурации вы можете найти среди этих точек?
Задача 30
Обобщить предыдущую задачу на случай n-угольника при n большем восьми.
Задача 31
В квадрате ABCD из каждой вершины проведены оба трисектора. Какие конфигурации вы можете найти среди этих точек?
